Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的對稱軸的方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)的最高點的橫坐標組成一個數(shù)列{a_n}，求a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知利用向量垂直的性質(zhì)和三角函數(shù)知識，得y=2cos²x+2

3

sinxcosx=2sin（2x+

π

6

）+1，由此能求出f（x）的對稱軸的方程．
（2）由三角函數(shù)的性質(zhì)得a_n=

π

2

+2（n-1）π，n∈N^*，由此能求出a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2cos²x+2

3

sinxcosx-y=0，
∴y=2cos²x+2

3

sinxcosx
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
f（x）的對稱軸的方程為：2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
整理，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）∵y=2sin（2x+

π

6

）+1，∴當2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z時，y取最大值3，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)的最高點的橫坐標組成一個數(shù)列{a_n}，
∴a_n=

π

2

+2（n-1）π，n∈N^*，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=

π

2

×2015+2(1+2+3+…+2014)π
=

2015π

2

+2014×2015π
=4059217.5π．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查數(shù)列的前2015項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運用．