Question

已知f（x）、g（x）都是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)．已知：g（x）滿足：①當(dāng)x＞O時(shí)，g′（x）＞0 恒成立；②?x∈R都有g(shù)（x）=g（-x）．f（x）滿足：①?x∈R都有f（x+

3

）=f（x-

3

）；②當(dāng)x∈[-

3

2

，

3

2

]時(shí)，f（x）=x³-3x．若關(guān)于；C的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對(duì)x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0]∪[1，+∞）
• B、[0，1]
• C、[

  1

  2

  -

  3 3

  4

  ，-

  1

  2

  +

  3 3

  4

  ]
• D、（-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件可得函數(shù)g（x）的奇偶性和單調(diào)性，利用條件可得函數(shù)f（x）的周期性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值恒成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)g（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0恒成立且對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），
∴函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)|（x|）=g（x），
∴g[f（x）]≤g（a²-a+2），x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立?|f（x）|≤|a²-a+2|恒成立，只要使得定義域內(nèi)|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，
由f（x+

3

）=f（x-

3

），得f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期T=2，
∵x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]時(shí)，f（x）=x³-3x，
求導(dǎo)得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），該函數(shù)過點(diǎn)（-，0），（0，0），（，0），
且函數(shù)在x=-1處取得極大值f（-1）=2，
在x=1處取得極小值f（1）=-2，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值為2，
由2≤|a²-a+2|，即2≤a²-a+2，
則a²-a≥0，
解得：a≥1或a≤0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用條件求出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及周期性是解決本題的關(guān)鍵，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．