Question

設(shè)數(shù)列n²a_n的前n項和為S_n，且S_n=n（n+1）（n+2），n∈N^*．
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；
（2）若數(shù)列b_n滿足b_n=a₁a₂a₃…a_n，n∈N^*，求數(shù)列b_n的通項公式及前n項和T_n；
（3）在（2）的條件下，求證：

3

b1

+

32

2b2

+

33

3b3

+…+

3n

nbn

=

n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式可先求n²a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，進一步可求a_n
（2）結(jié)合（1）可知an=

3(n+1)

n

，代入可求b_n，利用“乘公比錯位相減”求T_n
（3）結(jié)合（1）（2）可得，

3n

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和

解答：解：（1）當n=1時，a₁=6；
當n≥2時，S_n=n（n+1）（n+2）①
S_n-1=（n-1）n（n+1）②
由①-②得：n²a_n=3n（n+1），即an=

3(n+1)

n

．
綜上得：an=

3(n+1)

n

．（4分）
（2）因為an=

3(n+1)

n

，
所以bn=a1a2a3an=

3×2

1

×

3×3

2

×

3×4

3

××

3(n+1)

n

=3n(n+1)．
故b_n=3ⁿ（n+1）．（6分）
T_n=2•3+3•3²+4•3³+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ．③
3T_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+n•3ⁿ+（n+1）•3ⁿ⁺¹．④
③-④得：-2T_n=2•3+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）•3ⁿ⁺¹=

1

2

•3n+1+ 

3

2

-(n+1)•3n+1
化簡得：Tn=(

n

2

+

1

4

)•3n+1-

3

4

．（9分）
（3）由b_n=3ⁿ（n+1），得

3n

bn

=

1

n+1

，等式兩端同時乘以

1

n

，
得

3n

nbn

=

1

n(n+1)

．則有

3

b1

+

32

2b2

+ 

33

3b3

+…+

3n

nbn

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n(n+1)

1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+ 

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

點評：本題考查了數(shù)列的遞推公式a_n=s_n-s_n-1，（n≥2），a₁=s₁由“和”與“項”的轉(zhuǎn)化；疊乘求數(shù)列的通項公式；“乘公比錯位相減”求數(shù)列的和、裂項求和等知識的綜合運用．