設(shè)數(shù)列n2an的前n項和為Sn,且Sn=n(n+1)(n+2),n∈N*
(1)求數(shù)列an的通項公式;
(2)若數(shù)列bn滿足bn=a1a2a3…an,n∈N*,求數(shù)列bn的通項公式及前n項和Tn;
(3)在(2)的條件下,求證:
3
b1
+
32
2b2
+
33
3b3
+…+
3n
nbn
=
n
n+1
分析:(1)利用遞推公式可先求n2an=sn-sn-1(n≥2),a1=s1,進一步可求an
(2)結(jié)合(1)可知an=
3(n+1)
n
,代入可求bn,利用“乘公比錯位相減”求Tn
(3)結(jié)合(1)(2)可得,
3n
nbn
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂項求和
解答:解:(1)當n=1時,a1=6;
當n≥2時,Sn=n(n+1)(n+2)①
Sn-1=(n-1)n(n+1)②
由①-②得:n2an=3n(n+1),即an=
3(n+1)
n

綜上得:an=
3(n+1)
n
.(4分)
(2)因為an=
3(n+1)
n
,
所以bn=a1a2a3an=
3×2
1
×
3×3
2
×
3×4
3
××
3(n+1)
n
=3n(n+1)

故bn=3n(n+1).(6分)
Tn=2•3+3•32+4•33+…+n•3n-1+(n+1)•3n.③
3Tn=2•32+3•33+4•34+…+n•3n+(n+1)•3n+1.④
③-④得:-2Tn=2•3+32+33+…+3n-(n+1)•3n+1=
1
2
3n+1
3
2
-(n+1)•3n+1

化簡得:Tn=(
n
2
+
1
4
)•3n+1-
3
4
.(9分)
(3)由bn=3n(n+1),得
3n
bn
=
1
n+1
,等式兩端同時乘以
1
n

3n
nbn
=
1
n(n+1)
.則有
3
b1
+
32
2b2
33
3b3
+…+
3n
nbn
=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…
1
n(n+1)


1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+ 
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1

=
n
n+1
(12分)
點評:本題考查了數(shù)列的遞推公式an=sn-sn-1,(n≥2),a1=s1由“和”與“項”的轉(zhuǎn)化;疊乘求數(shù)列的通項公式;“乘公比錯位相減”求數(shù)列的和、裂項求和等知識的綜合運用.
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an
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n2
an
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+
32
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+
33
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+…+
3n
nbn
=
n
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(2)若數(shù)列bn滿足bn=a1a2a3…an,n∈N*,求數(shù)列bn的通項公式及前n項和Tn
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