Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）當(dāng)n為何值時(shí)，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由已知條件列方程組求出首項(xiàng)和公差，然后直接代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的首項(xiàng)和公差直接代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；
（Ⅲ）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求前n項(xiàng)和的最大值．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由

a3=a1+2d=24 a6=a1+5d=18

，得

a1=28 d=-2

．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=28-2（n-1）=30-2n；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=28n+

n(n-1)•(-2)

2

=-n2+29n．
（Ⅲ）因?yàn)?span id="fuks1wc" class="MathJye">Sn=-n2+29n，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)n=

29

2

時(shí)函數(shù)有最大值，
而n∈N^*，所以，當(dāng)n=14或15時(shí)，S_n最大，最大值為210．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題．