Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中， ，點(diǎn)、分別在邊、上．點(diǎn)與點(diǎn)、不重合， ， ，沿將翻折到的位置，使平面平面．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）記三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，且，求此時(shí)線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)EF⊥AC得PO⊥EF，由平面PEF⊥平面ABEFD結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證出PO⊥平面ABEFD，從而得到PO⊥BD．由此結(jié)合AO⊥BD，利用線面垂直判定定理即可證出BD⊥平面POA；

（2）由PO⊥平面ABEFD，得PO是三棱錐P﹣ABD和四棱錐P﹣BDEF的高，因此將 化簡(jiǎn)可得S△ABD= S四邊形BDEF，從而得到S△CEF= S△BCD．最后根據(jù)△CEF∽△CDB，利用面積比等于相似比的平方，結(jié)合菱形ABCD中有關(guān)數(shù)據(jù)即可算出此時(shí)線段PO的長(zhǎng)等于 ．

(Ⅰ)證明：在菱形中，∵，∴． ∵，∴，

∵平面⊥平面，平面平面 ，且平面，

∴平面， ∵平面，∴．

∵，∴平面．

（Ⅱ）設(shè)．由(Ⅰ)知， 平面，

∴為三棱錐及四棱錐的高，

∴，∵，

∴，∴，

∵，

∴，∴∽． ∴，

∴， ∴．