已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N.

(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);

(2)已知O為原點(diǎn),求證:∠MON為定值.


解:(1)∵點(diǎn)E(2,2)在拋物線y2=2px上,

∴4=2p×2,∴p=1.

∴拋物線方程為y2=2x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

(2)顯然,直線l斜率存在,且不為0.

設(shè)l斜率為k,則l方程為y=k(x-2).

由

得ky2-2y-4k=0,

設(shè)A,B.

則y1+y2=,y1·y2=-4.

∵kEA===.

∴EA方程為y-2=(x-2).

令x=-2,得y=2-=.

∴M.

同理可求得N.

∴·=·

=4+

=4+

=0

∴⊥.

即∠MON=90°,

∴∠MON為定值.


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