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已知函數f（x）=
1
3
x3-2x2+ax，在該曲線的所有切線中，有且只有一條切線l與直線y=x垂直，則切線l的方程為
 
．
考點：利用導數研究曲線上某點切線方程
專題：計算題,導數的概念及應用,直線與圓
分析：由已知可得函數的導函數，即切線斜率的函數，因為在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，所以導函數只有一個實根，進而易得a的值與切線1的方程．
解答： 解：∵f（x）=
1
3
x3-2x2+ax（a∈R），
∴f′（x）=x2-4x+a．
∵在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，
∴x2-4x+a=-1有且只有一個實數根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．
∴x=2，f（2）=
2
3
．即切點（2，
2
3
）．
∴切線l：y-
2
3
=-（x-2），即3x+3y-8=0．
故答案為：3x+3y-8=0．
點評：本題主要考查導數的幾何意義，同時考查了直線的點斜式方程和兩直線垂直的條件，是一道基礎題，應注意正確求導．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2014-2015學年江西省高一上學期期中考試數學試卷（解析版） 題型：選擇題

如下圖所示，那么陰影部分所表示的集合是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x-
1
x
-alnx（a∈R）
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線與圓x2+y2-2y=0相切，求a的值；
（2）是否存在實數a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立？如果存在，試求出實數a的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+（-1）n，n≥1．求數列{an}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

經過點（ρ1，θ1），（ρ2，θ2）的直線方程為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C與雙曲線x2-
y2
3
=1的焦點相同，且與直線y=x+4有公共點，則橢圓C的長軸長的最小值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）在x=
t+2
2
處取得最小值-
t2
4
（t≠0），且f（1）=0
（1）求f（x）的表達式
（2）若函數f（x）在閉區(qū)間[-1，
1
2
]上的最小值是-5，求對應的t和x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設點A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數y=f（x）（x1＜x＜x2）圖象上的兩端點．O為坐標原點，且點N滿足
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，點M（x，y）在函數y=f（x）的圖象上，且滿足x=λx1+（1-λ）x2（λ為實數），則稱|MN|的最大值為函數y=f（x）的“高度”．函數f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若270°＜a＜360°，則
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
cos2a
=
 
．

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