Question

已知二次函數(shù)f（x）在x=

t+2

2

處取得最小值-

t2

4

（t≠0），且f（1）=0
（1）求f（x）的表達(dá)式
（2）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，

1

2

]上的最小值是-5，求對(duì)應(yīng)的t和x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）（1）根據(jù)條件可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式f（x）=a（x-

t+2

2

）²-

t2

4

，由f（1）=0，可得a，從而求得f（x）表達(dá)式．
（2）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，求出其最小值，令其等于-5，即可求得t值．

解答： 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x-

t+2

2

）²-

t2

4

，
又f（1）=0，所以a（1-

t+2

2

）²-

t2

4

=0，解得a=1，
所以f（x）=（x-

t+2

2

）²-

t2

4

（t≠0）；
（2）因?yàn)閒（x）=（x-

t+2

2

）²-

t2

4

（t≠0）；
①當(dāng)

t+2

2

＜-1，即t＜-4時(shí)，
f（x）_min=f（-1）=（-1-

t+2

2

）²-

t2

4

=-5，解得t=-

9

2

；
②當(dāng)-1≤

t+2

2

≤

1

2

，即-4≤t≤-1時(shí)，
f（x）_min=f（

t+2

2

）=-

t2

4

=-5，解得t=±2

5

（舍去）；
③當(dāng)

t+2

2

＞

1

2

，即t＞-1時(shí)，
f（x）_min=f（

1

2

）=（

1

2

-

t+2

2

）²-

t2

4

=-5，解得t=-

21

2

（舍去）．
綜上得，所求的t=-

9

2

，x=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問(wèn)題及二次函數(shù)解析式的求解，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題