Question

設函數(shù)f（x）=plnx+

q

x2

（p＞0），若x=

2

2

時，f（x）有極小值

1

2

（1-ln2），
（1）求實數(shù)p，q的取值；
（2）若數(shù)列{a_n}中，a_n=f（n），求證：數(shù)列{a_n}的前n項和S_n≥

n

4

；
（3）設函數(shù)g（x）=alnx+bx+c（a＞0），若g（x）有極值且極值為t，則t與

4ac-b2

4a

是否具有確定的大小關系？證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）f′(x)=

px2-2p

x3

，由題意知

f′( 2 2 )= p 2 -2q=0 f( 2 2 )=- p 2 ln2+2q= 1 2 (1-ln2)

，由此能求出p=1，q=

1

4

．
（2）函數(shù)y=f（x）在x∈（

2

2

，+∞）上單調遞增，由此能證明數(shù)列{a_n}的前n項和S_n≥

n

4

．
（3）g′(x)=

a

x

+b，a，b異號，極小值點為x=-

a

b

，t=g（-

a

b

），t-

4ac-b2

4ac

=a（ln（-

a

b

）+

b2

4a2

-1），由此利用構造法能推導出g（x）的極值t與

4ac-b2

4a

不具有明確的大小關系．

解答： （1）解：∵f（x）=plnx+

q

x2

（p＞0），
f′(x)=

px2-2p

x3

，…（1分）
∵x=

2

2

時，f（x）有極小值

1

2

（1-ln2），
∴

f′( 2 2 )= p 2 -2q=0 f( 2 2 )=- p 2 ln2+2q= 1 2 (1-ln2)

，…（3分）
解得p=1，q=

1

4

．…（4分）
（2）證明：由條件和第（1）問可知，
函數(shù)y=f（x）在x∈（

2

2

，+∞）上單調遞增，…（5分）
a_n=f（n），n≥1，
∴an≥a1=

1

4

，∴Sn≥na1=

n

4

．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n≥

n

4

．…（7分）
（3）解：g′(x)=

a

x

+b，由g（x）有極值且g（x）的定義域為（0，+∞）可知：
a，b異號，極小值點為x=-

a

b

，t=g（-

a

b

），…（8分）
t-

4ac-b2

4ac

=ab（-

a

b

）-a+c-c+

b2

4a

=a（ln（-

a

b

）+

b2

4a2

-1），…（9分）
令r=-

a

b

，構造函數(shù)h（r）=lnr+

1

4r2

-1，
由條件和第（1）問可知：
r=

2

2

時，h（r）有極小值h（

2

2

）=-

1

2

(1+ln2)＜0，
而h（e）=lne+

1

4e2

-1=

1

4e2

＞0，…（11分）
∴t-

4ac-b2

4ac

可能大于0或可能等于0或可能小于0，
即g（x）的極值t與

4ac-b2

4a

不具有明確的大小關系．…（13分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查不等式的證明，考查兩數(shù)大小的比較，解題時要認真審題，注意構造法和函數(shù)性質的合理運用．