Question

函數f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

）的圖象向左平移

π

6

個單位后關于原點對稱，則當函數f（x）在[0，

π

2

]上取得最小值時，x=

 

．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：由條件根據函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數的圖象的對稱性可得

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，由此根據|φ|＜

π

2

求得φ的值．得到函數解析式即可得解．

解答： 解：函數f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

）的圖象向左平移

π

6

個單位后得到的函數解析式是：y=cos[2（x+

π

6

）+φ]=cos（2x+

π

3

+φ），
∵函數圖象關于原點對稱，
∴可得

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴可解得：φ=

π

6

，即有：f（x）=cos（2x+

π

6

）．
由題意x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴cos（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，即有當2x+

π

6

=π即x=

5π

12

時，函數f（x）=cos（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

2

]的取最小值為-1．
故答案為：

5π

12

．

點評：本題主要考查函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數的圖象的對稱性，考查了余弦函數最值的求法，解題的關鍵是熟練掌握余弦函數的性質，能根據函數的性質求最值，屬于基本知識的考查．