平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=,且,以BD為折線,把折起,使平面,連AC。(1)求異面直線AD與BC所成角大。唬2)求二面角B-AC-D平面角的大;(3)求四面體ABCD外接球的體積。

 

【答案】

(1)異面直線AD與BC所成角為(2)二面角B-AC-D的大小是;

(3) 。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中異面直線所成的角和二面角的大小以及球的體積的求解的綜合運用。

(1)在中,,易得

在四面體ABCD中,以D為原點,DB為軸,DC為軸,過D垂直于平面BDC的射線為軸,建立如圖空間直角坐標系,那么利用向量的夾角得到異面直線的角。

(2)利用法向量與法向量的夾角得到二面角的平面角。

(3)由于均為直角三角形,故四面體ABCD的外接球球心在AD中點,

,所以球半徑,從而得到結論。

解:在中,,易得,

在四面體ABCD中,以D為原點,DB為軸,DC為軸,過D垂直于平面BDC的射線為軸,建立如圖空間直角坐標系。

z

 

則D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2)

(1)由于,設AD與BC所成角為,則

,即異面直線AD與BC所成角為

(2)設平面ABC的法向量為,而,

得:,取 。

再設平面DAC的法向量為,而,

得:,取,

所以,所以二面角B-AC-D的大小是

(3)……由于均為直角三角形,故四面體ABCD的外接球球心在AD中點,

,所以球半徑,得 。

 

練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,則此時B、D的距離是 ( 。
A、2或
3
B、2或
2
C、2
D、1或
2

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精英家教網(wǎng)如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EDB⊥平面ABD.
(I)求證:AB⊥DE
(Ⅱ)求三棱錐E-ABD的側面積.

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(1)求證:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)當E運動到何處時,S有最大值,最大值是多少?

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(2012•廣州二模)在平行四邊形ABCD中,點E是AD的中點,BE與AC相交于點F,若
EF
=m
AB
+n
AD
(m,n∈R)
,則
m
n
的值為
-2
-2

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(2011•天津模擬)在平行四邊形ABCD中,
AE
=
1
3
AB
AF
=
1
4
AD
,CE與BF相交于G點.若
AB
=
a
,
AD
=
b
,則
AG
=( 。

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