解:(1)由題意,
∵A、B、C三點(diǎn)共線,
∴
∴
(2)∵
,
,則a>lnx
又由(1)得,
,
,則
∴要證原不等式成立,只須證:
(*)
設(shè)
.
∵
∴h(x)在
上均單調(diào)遞增,則h(x)有最大值
,
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/104286.png' />,所以a>h(x)在
恒成立.
∴不等式(*)成立,即原不等式成立.
(3)方程f(x)=2x+b即
,令
,
∴
當(dāng)
時(shí),?′(x)<0,?(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)
時(shí),?′(x)>0,?(x)單調(diào)遞增,
∴?(x)有極小值為
=
即在[0,1]上的最小值.
又?(0)=ln2,
,又
-ln2=
∴l(xiāng)n5-
>ln2.
∴要使原方程在[0,1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根,必須使
ln2.
分析:(1)先根據(jù)
表示出向量
,再由A,B,C三點(diǎn)共線可得到關(guān)系式
,整理即可得到答案.
(2)由
,
,可知a>lnx,由(1)得
,所以要證原不等式成立,只須證:
,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)在
上均單調(diào)遞增,則求出函數(shù)的最大值即可證得.
(3)將函數(shù)f(x)的解析式代入f(x)=2x+b中,整理可得
,然后令
,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間,即可求得函數(shù)φ(x)的最小值,再根據(jù)在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出答案.
點(diǎn)評(píng):本題以向量為依托,考查向量在幾何中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是利用 A、B、C共線時(shí),
=λ
+(1-λ)
,建立等式,同時(shí)證明不等式時(shí)利用了分離參數(shù)法,也是我們應(yīng)該掌握的方法.