Question

已知函數(shù)f(x)＝k(x－1)e^x＋x².

(1)當(dāng)k＝－時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程；

(2)若在y軸的左側(cè)，函數(shù)g(x)＝x²＋(k＋2)x的圖象恒在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象的上方，求k的取值范圍；

(3)當(dāng)k≤－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在[k,1]上的最小值m.

Answer 1

【解】　(1)當(dāng)k＝－時(shí)，f(x)＝－(x－1)e^x＋x²，f′(x)＝－xe^x－1＋2x，f′(1)＝1，

函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y＝x.

(2)f′(x)＝kx<x²＋(k＋2)x，

即kxe^x－x²－kx<0.

因?yàn)?i>x<0，所以ke^x－x－k>0，

令h(x)＝ke^x－x－k，則h′(x)＝ke^x－1.

當(dāng)k≤0時(shí)，h(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，h(x)>h(0)＝0，符合題意；

當(dāng)0<k≤1時(shí)，h(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，h(x)>h(0)＝0，符合題意

當(dāng)k>1時(shí)，h(x)在(－∞，－ln k)上為減函數(shù)，在(－ln k，0)上為增函數(shù)，h(－ln k)<h(0)＝0，不合題意．

綜上：k≤1.