Question

【題目】橢圓一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程式．

（Ⅱ）定點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；并求出取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)求．

（Ⅲ）定直線，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，證明點(diǎn)到的距離與到定直線的距離的比值為常數(shù)，并求出此常數(shù)值．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；（2）最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）到的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)．

【解析】分析：（Ⅰ）由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)為，可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且。進(jìn)而由離心率，可得。再由求得。可得橢圓的方程為。（Ⅱ）要求的最大值，應(yīng)設(shè)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式表示出來，然后求最值。

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則。進(jìn)而可得，由橢圓的性質(zhì)可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最大值．此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為。

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到的距離為：，由橢圓的性質(zhì)可得的范圍，所以 。可得點(diǎn)到直線的距離為，進(jìn)而可得，所以到的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)。

詳解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，，

∴，，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

所以

所以，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．

∴最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)，則，

所以

所以點(diǎn)到的距離為：，

由橢圓的性質(zhì)可得

所以

所以點(diǎn)到直線的距離為，

所以，

故到的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)．