Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F． （Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AB∥CD． 又因?yàn)锳B面PCD，CD面PCD，所以AB∥面PCD．
又因?yàn)锳，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．
解：（Ⅱ）取AD中點(diǎn)G，連接PG，GB．
因?yàn)镻A=PD，所以PG⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．
在菱形ABCD中，因?yàn)锳B=AD，∠DAB=60°，G是AD中點(diǎn)，
所以AD⊥GB．
如圖，以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz．
設(shè)PA=PD=AD=2a，
則G（0，0，0），A（a，0，0）， ．
又因?yàn)锳B∥EF，點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn)．
所以 ．
所以 ．
設(shè)平面AFE的法向量為n=（x，y，z），則有 所以
令x=3，則平面AFE的一個(gè)法向量為 ．
因?yàn)锽G⊥平面PAD，所以 是平面PAF的一個(gè)法向量．
因?yàn)? ，
所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB∥CD，從而AB∥面PCD，由此能證明AB∥EF． （Ⅱ）取AD中點(diǎn)G，連接PG，GB．以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)才能正確解答此題．