Question

6．已知點P（x，y）是直線kx+y+4=0（k＞0）上一動點，PA、PB是圓C：x²+y²-2y=0的兩條切線，A、B為切點，若四邊形PACB面積的最小值是2，則k的值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，最后利用點到直線的距離求出直線的斜率即可．

解答 解：∵圓的方程為：x²+（y-1）²=1，
∴圓心C（0，1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當圓心與點P的距離最小時，
即距離為圓心到直線l的距離最小時，
切線長PA，PB最�。�切線長為2，
∴PA=PB=2，
∴圓心到直線l的距離為d=$\sqrt{5}$．直線方程為y+4=kx，即kx-y-4=0，
∴$\sqrt{5}$=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=±2，
∵k＞0，∴所求直線的斜率為：2．
故選C．

點評 本題的考點是直線與圓的位置關系，主要涉及了構造四邊形及其面積的求法，解題的關鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．