Question

若函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點：絕對值三角不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可分類討論，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，現(xiàn)通過其最小值，求出參數(shù)a的值．

解答： 解：（1）當(dāng)-

a

2

＞-1，即a＜2時，
f(x)=

-3x-1-a，(x≤-1) -x+1-a，(-1＜x＜- a 2 ) 3x+1+a，(x≥- a 2 )

，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-

a

2

）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-

a

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=-

a

2

時取最小值．
∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，
∴f(-

a

2

)=3．
∴a=-4．
（2）當(dāng)-

a

2

＜-1，即a＞2時，
f(x)=

-3x-1-a，(x≤- a 2 ) x-1+a，(- a 2 ＜x＜-1) 3x+1+a，(x≥-1)

，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-

a

2

）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-

a

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=-

a

2

時取最小值．
∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，
∴f(-

a

2

)=3．
∴a=8．
（3）當(dāng)-

a

2

=-1，即a=2時，
f（x）=3|x+1|≥0，與題意不符．
綜上，a=-4或a=8．
故答案為：a=-4或a=8．

點評：本題考查了函數(shù)最值求法，考查了分段函數(shù)的解析式的求法，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的思維量，屬于中檔題．