Question

已知不論m為何值，直線l：（m+2）x+（1-2m）y+4-3m=0恒過一定點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l₁過點(diǎn)M且夾在兩坐標(biāo)軸間的線段被M平分，求l₁的方程；
（3）設(shè)直線l₂過點(diǎn)M且和兩坐標(biāo)軸負(fù)半軸圍成的三角形面積最小，求l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：恒過定點(diǎn)的直線,直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）原方程變形可得（x-2y-3）m+2x+y+4=0，聯(lián)立

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，解方程組得交點(diǎn)即為所求；
（2）設(shè)直線l₁的方程為y+2=k（x+1），易得直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，k-2），（

2

k

-1，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得k值；
（3）設(shè)直線l₂的方程為y+2=k（x+1），k＜0，可得S=

1

2

|k-2||

2

k

-1|=

1

2

（-k+

4

-k

+4），由基本不等式可得．

解答： 解：（1）原方程變形可得（x-2y-3）m+2x+y+4=0，
聯(lián)立

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，解得

x=-1 y=-2

，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-2）；
（2）設(shè)直線l₁的方程為y+2=k（x+1），即y=kx+k-2，
令x=0可得y=k-2，令y=0可得x=

2

k

-1，
即直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，k-2），（

2

k

-1，0）
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得k-2+0=2×（-1），解得k=0，
∴l(xiāng)₁的方程為y+2=0；
（3）設(shè)直線l₂的方程為y+2=k（x+1），k＜0，
令x=0可得y=k-2，令y=0可得x=

2

k

-1，
∴三角形面積S=

1

2

|k-2||

2

k

-1|=

1

2

|

(k-2)2

k

|
=

1

2

|k+

4

k

-4|=

1

2

（-k+

4

-k

+4）≥

1

2

（2

-k• 4 -k

+4）=4
當(dāng)且僅當(dāng)-k=

4

-k

即k=-2時取等號，
∴此時l₂的方程為2x+y+4=0

點(diǎn)評：本題考查直線橫過定點(diǎn)問題，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．