Question

定義在R上的函數(shù)滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，若實數(shù)a滿足2f（log₂a）+f（log 

1

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a）≤f（1），則a的取值范圍是（　�。�

• A、[1，2]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（0，2]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,對數(shù)的運算性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由已知條件令x=y有，f（2x）=2f（x），令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，求出f（x）為奇函數(shù)，由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，則f（x）在R上是遞增函數(shù)，將所求不等式化簡為f（2log₂a-log₂a）≤f（1）．再由單調性即可求得a的范圍．

解答： 解：由于f（x+y）=f（x）+f（y），
則令x=y有，f（2x）=2f（x），
令x=y=0，則f（0）=2f（0），即f（0）=0，
再令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，即f（x）為奇函數(shù)，
由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，
則f（x）在R上是遞增函數(shù)，
故2f（log₂a）+f（log 

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2

a）≤f（1），
即為f（2log₂a）+f（-log₂a）≤f（1），
即有f（2log₂a-log₂a）≤f（1）．
則log₂a≤1，解得0＜a≤2．
故選C．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調性及運用，考查對數(shù)的有關運算，屬于中檔題．