(理科)在空間中
(I)已知三點(diǎn)A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),求△ABC的面積;
(Ⅱ)已知向量
a
=(2,-1,3),
b
=(-1,4,-2),
c
=(7,5,λ),若向量
a
,
b
,
c
共面,求實(shí)數(shù)λ之值.
考點(diǎn):向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直,空間兩點(diǎn)間的距離公式,空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
專(zhuān)題:空間向量及應(yīng)用
分析:(I)利用數(shù)量積的定義、向量的夾角公式可得cosA,進(jìn)而點(diǎn)到sinA,再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出;
(II)利用向量共面基本定理即可得出.
解答: 解:(I)∵三點(diǎn)A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),
AB
=(1,1,1),
AC
=(2,1,3),
AB
AC
=2+1+3=6,|
AB
|
=
3
,|
AC
|
=
22+12+32
=
14

∴cosA=
AB
AC
|
AB
||
AC
|
=
6
3
×
14
=
14
7

sinA=
1-cos2A
=
35
7

∴△ABC的面積S=
1
2
|
AB
||
AC
|sinA
=
1
2
×
3
×
14
×
35
7
=
30
2

(Ⅱ)∵向量
a
,
b
,
c
共面,
∴存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)m,n使得
c
=m
a
+n
b
,
∴(7,5,λ)=m(2,-1,3)+n(-1,4,-2)=(2m-n,-m+4n,3m-2n),
2m-n=7
-m+4n=5
3m-2n=λ
,解得
m=
33
7
n=
17
7
λ=
65
7
,
λ=
65
7
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)量積的定義、向量的夾角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的面積計(jì)算公式、向量共面基本定理,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,給出下列命題:
①若m?β,α⊥β,則m⊥α;
②若m∥α,m⊥β,則α⊥β;
③若α⊥β,α⊥γ,則β⊥γ;
④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥β.
上面命題中,真命題的序號(hào)是
 
(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

五個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?br />
學(xué)生ABCDE
數(shù)學(xué)8075706560
物理7066686462
(1)作出散點(diǎn)圖和相關(guān)直線圖;
(2)求出回歸方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),中心為O,右頂點(diǎn)為A,
F1A
F2A
=c2,P為橢圓上任一點(diǎn).
(1)求橢圓離心率;
(2)若cos∠F1PF2=
1
3
,且△PF1F2的面積為
2
時(shí),求橢圓的方程.
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)N為橢圓上動(dòng)點(diǎn),若M(m,0)(m>0),求|MN|的最小值及此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)S={x|x≤3},T={x|x<1},求S∩T,S∪T,(∁US)∩T,(∁US)∩(∁UT),∁U(S∪T).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

方程x2+(k-2)x+5-k=0的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)若loga
2
5
<1,求a的取值范圍;
(2)求滿足不等式log3x<1的x的取值集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某城市隨機(jī)抽取一個(gè)月(30天)的空氣質(zhì)量指數(shù)API監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300](300,350]
空氣質(zhì)量優(yōu)輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染
天數(shù)2459433
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該城市這30天空氣質(zhì)量指數(shù)API的平均值;
(Ⅱ)若該城市某企業(yè)因空氣污染每天造成的經(jīng)濟(jì)損失S(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)API(記為w)的關(guān)系式為:
S=
0,0≤w≤100
4w-400,100<w≤300
2000,300<w≤350

若在本月30天中隨機(jī)抽取一天,試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線l與直線x+y=1=0垂直,其縱截距b=-
3
,橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且與直線l相切.
(1)求直線l,橢圓C的方程;
(2)過(guò)F1作兩條互相垂直的直線l1、l2,與橢圓分別交于P、Q及M、N,求四邊形PMQN面積的最大值與最小值.

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