（理科）在空間中
（I）已知三點(diǎn)A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），求△ABC的面積；
（Ⅱ）已知向量
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（7，5，λ），若向量
a
，
b
，
c
共面，求實(shí)數(shù)λ之值．
考點(diǎn)：向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直,空間兩點(diǎn)間的距離公式,空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
專(zhuān)題：空間向量及應(yīng)用
分析：（I）利用數(shù)量積的定義、向量的夾角公式可得cosA，進(jìn)而點(diǎn)到sinA，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出；
（II）利用向量共面基本定理即可得出．
解答： 解：（I）∵三點(diǎn)A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），
∴
AB
=（1，1，1），
AC
=（2，1，3），
∴
AB
•
AC
=2+1+3=6，|
AB
|=
3
，|
AC
|=
22+12+32
=
14
．
∴cosA=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
=
6
3
×
14
=
14
7
．
∴sinA=
1-cos2A
=
35
7
．
∴△ABC的面積S=
1
2
|
AB
||
AC
|sinA=
1
2
×
3
×
14
×
35
7
=
30
2
．
（Ⅱ）∵向量
a
，
b
，
c
共面，
∴存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)m，n使得
c
=m
a
+n
b
，
∴（7，5，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2）=（2m-n，-m+4n，3m-2n），
∴
2m-n=7
-m+4n=5
3m-2n=λ
，解得
m=
33
7
n=
17
7
λ=
65
7
，
∴λ=
65
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的定義、向量的夾角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的面積計(jì)算公式、向量共面基本定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：
①若m?β，α⊥β，則m⊥α；
②若m∥α，m⊥β，則α⊥β；
③若α⊥β，α⊥γ，則β⊥γ；
④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，則α∥β．
上面命題中，真命題的序號(hào)是
 
（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

五個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?br />
學(xué)生ABCDE
數(shù)學(xué)8075706560
物理7066686462
（1）作出散點(diǎn)圖和相關(guān)直線圖；
（2）求出回歸方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），中心為O，右頂點(diǎn)為A，
F1A
•
F2A
=c2，P為橢圓上任一點(diǎn)．
（1）求橢圓離心率；
（2）若cos∠F1PF2=
1
3
，且△PF1F2的面積為
2
時(shí)，求橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，若M（m，0）（m＞0），求|MN|的最小值及此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)S={x|x≤3}，T={x|x＜1}，求S∩T，S∪T，（∁US）∩T，（∁US）∩（∁UT），∁U（S∪T）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程x2+（k-2）x+5-k=0的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）若loga
2
5
＜1，求a的取值范圍；
（2）求滿足不等式log3x＜1的x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某城市隨機(jī)抽取一個(gè)月（30天）的空氣質(zhì)量指數(shù)API監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]（300，350]
空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染
天數(shù)2459433
（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該城市這30天空氣質(zhì)量指數(shù)API的平均值；
（Ⅱ）若該城市某企業(yè)因空氣污染每天造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)API（記為w）的關(guān)系式為：
S=
0，0≤w≤100
4w-400，100＜w≤300
2000，300＜w≤350

若在本月30天中隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l與直線x+y=1=0垂直，其縱截距b=-
3
，橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且與直線l相切．
（1）求直線l，橢圓C的方程；
（2）過(guò)F1作兩條互相垂直的直線l1、l2，與橢圓分別交于P、Q及M、N，求四邊形PMQN面積的最大值與最小值．

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