Question

19．設{a_n}是等比數列，公比q=$\sqrt{2}$，S_n為{a_n}的前n項和．記T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，設B_n為數列{T_n}的最大項，則n=4．

Answer 1

分析 首先用公比q和a₁分別表示出S_n和S_2n，代入T_n易得到T_n的表達式，再根據基本不等式得出n．

解答 解：依題意得：T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{17{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{n}]}{1-\sqrt{2}}-\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{2n}]}{1-\sqrt{2}}}{{a}_{1}（\sqrt{2}）^{n}}$
=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$•$\frac{（\sqrt{2}）^{2n}-17（\sqrt{2}）^{n}+16}{（\sqrt{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$•[（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$-17]，
因為[（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$≥8，當且僅當（$\sqrt{2}$）ⁿ=4，即n=4時取等號，
所以當n=4時T_n有最大值．
故答案是：4．

點評 本題考查了等比數列的前n項和公式與通項及平均值不等式的應用，屬于中等題．