Question

4．設(shè)f（x）=x²-2x，x∈[t，t+1]（t∈R），函數(shù)f（x）的最小值為g（t）
（1）求g（t）的解析式．
（2）求函數(shù)g（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對稱軸，對x∈[t，t+1]與對稱軸的關(guān)系討論其最小值，可得g（t）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)g（t）的定義域范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)求值域

解答 解：（1）f（x）=x²-2x，
∵f（x）的圖象拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=t+1時，g（t）=f（t+1）=t²-1；
當(dāng)t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，g（t）=f（1）=-1；
當(dāng)t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，g（t）=f（t）=t²-2t．
綜上，g（t）的解析式為：$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}-1，t≤0\\-1，0＜t＜1\\{t^2}-2t，t≥1\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)t≤0時，g（t）=t²-1為減函數(shù)，g（t）≥g（0）=-1，
當(dāng)0＜t＜1時，g（t）=-1，
當(dāng)t≥1時，g（t）=t²-2t=（t-1）²-1為增函數(shù)，g（t）≥g（1）=-1，
綜上函數(shù)g（t）的值域為[-1，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)的單調(diào)性的討論求最值的問題．要抓住開口方向和對稱軸是關(guān)鍵．屬于中檔題．