已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0),離心率為e.
(Ⅰ)若e=
3
2
,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx(k>0)與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),若
AF2
BF2
=0,求k2+
81
a4-18a2
的值.
考點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)由e=
3
2
,右焦點(diǎn)為F2(3,0),求出a,c,可得b,即可求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線y=kx(k>0)與橢圓聯(lián)立,由根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合數(shù)量積公式,即可求k2+
81
a4-18a2
的值.
解答: 解:(Ⅰ)由題意得
c=3
c
a
=
3
2
,所以a=2
3

又由a2=b2+c2,解得b2=3.
所以橢圓的方程為
x2
12
+
y2
3
=1
.                                          …(4分)
(Ⅱ)由
y=kx
x2
a2
+
y2
b2
=1
得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知,x1+x2=0,且x1x2=-
a2b2
b2+a2k2
.   …(7分)
AF2
=(3-x1 ,  -y1) ,  
BF2
=(3-x2 ,  -y2)

所以
AF2
BF2
=(3-x1)(3-x2)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0

-a2(a2-9)(1+k2)
a2k2+(a2-9)
+9=0
.                                            …(9分)
整理得k2=
a4-18a2+81
-a4+18a2
=-1-
81
a4-18a2
.                                …(11分)
所以k2+
81
a4-18a2
=-1
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程與性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(z)=2z+z2+(1+i),則f(i)的值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
log2x,x>0
g(x),x<0
,且f(x)為奇函數(shù),則g(-4)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),設(shè)f(k)=1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,則f(k+1)-f(k)
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù),若對(duì)于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(-2012)+f(2013)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=2sinα
(α為參數(shù)),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為C1上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿足
OP
=2
OM
,點(diǎn)P的軌跡為曲線C2.則C2的參數(shù)方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1:4:4,母線長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的側(cè)面積為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,一圓錐內(nèi)接于半徑為R的球O,當(dāng)圓錐的體積最大時(shí),圓錐的高等于
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
、
b
滿足
a
2=1,
b
2=2,且
a
⊥(
a
-
b
),則向量
a
b
的夾角為( 。
A、30°B、45°
C、60°D、90°

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案