Question

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)x均有f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），則使得f（x）=f（2014）的最小的正實(shí)數(shù)x的值為（　�。�

• A、173
• B、416
• C、556
• D、589

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：實(shí)際上，此題類(lèi)似于“周期函數(shù)”，只是這個(gè)“周期”是每次三倍增大變化的，要求其解析式，只需將x化歸到[1，3]上即可．而與f（2014）相等的也不止一個(gè)，為此我們只需找到相應(yīng)的那個(gè)區(qū)間即可求出來(lái)．

解答： 解：因?yàn)閒（x）對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)x均有f（3x）=3f（x），
所以f（x）=3f（

x

3

），
所以f（2014）=3f（

2014

3

）=3²f（

2014

32

）=…=3nf(

2014

3n

)，
當(dāng)n=6時(shí)，

2014

36

∈[1，3]，
所以f（2014）=36[1-

2014

36

+2]=3⁷-2014=173，
同理f（x）=3ⁿf（

x

3n

）=

3n[1-( x 3n -2)]，2≤ x 3n ≤3 3n[1+( x 3n -2)]，1≤ x 3n ＜2

=

3n+1-x，2≤ x 3n ≤3 x-3n，1≤ x 3n ＜2

，（n∈N^*）
當(dāng)

3n+1-x=173 2≤ x 3n ≤3

時(shí)，x=3ⁿ⁺¹-173，n=6時(shí)，找的第一個(gè)符合前面條件的x=556；當(dāng)

x-3n=173 1≤ x 3n ＜2

時(shí)，x=3ⁿ+173，當(dāng)n=5時(shí)找到最小的x=416符合前面條件．
綜上，當(dāng)x=416時(shí)滿足題意．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)屬于選擇題中的壓軸題，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何將f（2014）轉(zhuǎn)化到[1，3]上求出它的函數(shù)值，二是如何利用方程思想構(gòu)造方程，按要求求出x的值．