【題目】設(shè)橢圓： （）的左右焦點(diǎn)分別為， ，下頂點(diǎn)為，直線的方程為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)， 到直線的距離為，且三角形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓相切，過(guò)焦點(diǎn)， 分別作， ，垂足分別為， ，求的最大值.

【答案】（1）（2）4

【解析】試題分析：（Ⅰ） 由直線斜率為 可得 ，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）（1）先求得 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積可得 的值，從而可得橢圓方程,(2) 設(shè)直線： 代入橢圓的方程中，

得 ,判別式為零，及點(diǎn)到直線的距離公式可將表示為 的函數(shù)，再利用基本不等式求解即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知，則.

，

（Ⅱ）（1）設(shè)點(diǎn)，于是，

所以或

而 無(wú)解；

由得.

又因?yàn)槿切?/span>面積，所以，

于是，橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線： 代入橢圓的方程中，

得

由已知，即

同時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

而時(shí)， ，因此

②當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形

此時(shí)

綜上①②可知， 的最大值為4.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程和最值問(wèn)題，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法，本題（Ⅱ）就是用的這種思路，利用均值不等式法的最大值的.

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（1）求橢圓的方程；

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