Question

圓M：（x-1）²+y²=9，直線l：y=x-m，當(dāng)直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)R，使得RP⊥RQ，求M的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x₀，0），因?yàn)镽P⊥RQ，所以（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，故2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0，由圓M：（x-1）²+y²=9，直線l：y=x-m可得2x²-2（m+1）x+m²-8=0，再利用韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x₀，0），
∵RP⊥RQ，
∴k_RPk_RQ=-1，
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（x₁-m）（x₂-m）=0，
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0（1）
由圓M：（x-1）²+y²=9，直線l：y=x-m可得2x²-2（m+1）x+m²-8=0
所以x1+x2=m+1，x1x2=

m2-8

2

，
△=4（m+1）²-8（m²-8）＞0，1-3

2

＜m＜1+3

2

將（2）代入（1）整理得x₀²-（m+1）x₀+m²-m-8=0
所以△x0=（m+1）²-4（m²-m-8）≥0，
∴1-2

3

≤m≤1+2

3

適合△＞0，
所以1-2

3

≤m≤1+2

3

．

點(diǎn)評：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，考查根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．