Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使AD=AE．
（1）求證：AF∥平面CBD；
（2）求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）取DE的中點G，連結(jié)FG，AG，CG，由已知條件推導出FG∥CD，AG∥BC，從而得到平面AFG∥平面CBD，由此能證明AF∥平面CBD．
（2）如圖以AE中點為原點，AE為x軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出面CBD與面DAE所面角的余弦值．

解答： （1）證明：取DE的中點G，連結(jié)FG，AG，CG，
∵翻折前E、F分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，
∴翻折后AD=AE=2CF，
∴CF

∥

.

DG，CG

∥

.

AB，
∴FG∥CD，AG∥BC，
∴平面AFG∥平面CBD，
∴AF∥平面CBD．
（2）如圖以AE中點為原點，AE為x軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則由題意知A（-1，0，0），D（0，0，

3

），
B（-1，-2，0），E（1，0，0），
∴DE的中點坐標為（

1

2

，0，

3

2

），
∵

CF

=

1

2

DE

，∴C（

1

2

，-2，

3

2

），
∵

BA

是平面ADE的一個法向量，即

BA

=

n

=(0，2，0)，
設平面BCD的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

BC

=(

3

2

，0，

3

2

)，

BD

=(1，2，

3

)，
∴

m • BC = 3 2 x+ 3 2 z=0 m • BD =x+2y+ 3 z=0

，
令x=2，則y=2，z=-2

3

，∴

m

=(2，2，-2

3

)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

4

2× 20

=

5

5

，
∴面CBD與面DAE所面角的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．