Question

已知關于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinα和cosα，且α∈（0，2π），求
（1）m的值
（2）方程的兩根及此時α的值．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由已知方程利用韋達定理得到①與②，將①兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關系化簡，結合②求出m的值即可；
（2）把m的值代入方程求出兩根，確定出sinα與cosα的值，即可確定出α的度數(shù)．

解答： 解：（1）∵關于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinα和cosα，且α∈（0，2π），
∴sinα+cosα=

3 +1

2

①，sinαcosα=

m

2

②，
將①兩邊平方得：1+2sinαcosα=

4+2 3

4

=1+

3

2

，即sinαcosα=

3

4

，
結合②得：

m

2

=

3

4

，即m=

3

2

；
（2）把m=

3

2

代入方程得：2x²-（

3

+1）x+

3

2

=0，
整理得：4x²-2（

3

+1）x+

3

=0，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

1

2

，
可得sinα=

3

2

，cosα=

1

2

或sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，
則α=

π

3

或

π

6

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．