Question

【題目】已知二次函數的定義域恰是不等式的解集，其值域為，函數的定義域為，值域為.

（1）求定義域和值域；

（2）試用單調性的定義法解決問題：若存在實數，使得函數在上單調遞減，上單調遞增，求實數的取值范圍并用表示；

（3）是否存在實數，使成立？若存在，求實數的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）存在，.

【解析】

（1）解不等式得定義域，由二次函數的性質可得值域；

（2）假設存在，滿足題意，設且，作差，按單調性定義分析可得；

（3）求導函數，分類討論，得出的單調性，從而求得值域，再由，列出不等式組，可得的取值范圍。

（1），解得，∴，即。

，又，∴，∴。

（2）假設存在，滿足題意，

設且，

，

顯然，因此當，，當，，

當，，因此，，

，，因此，，

綜上。，∴。

∴，。

（3），

若，則，是上的增函數，時，，，即，

當時，，∴，

若，則當時，，單調遞減，時，，單調遞增，

若，則，，即，不滿足，

若，則當時，遞減，∴

∴，解得，

綜上的取值范圍是。