Question

17．已知不過第二象限的直線l：ax-y-4=0與圓x²+（y-1）²=5相切．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l₁過點（3，-1）且與直線l平行，直線l₂與直線l₁關于直線y=1對稱，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l與圓x²+（y-1）²=5相切，$\frac{5}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=\sqrt{5}$，結合直線l不過第二象限，求出a，即可求直線l的方程；
（2）直線l₁的方程為2x-y+b=0，直線l₁過點（3，-1），求出b，即可求出直線l₁的方程；利用直線l₂與l₁關于y=1對稱，求出直線的斜率，即可求直線l₂的方程．

解答 解：（1）∵直線l與圓x²+（y-1）²=5相切，∴$\frac{5}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=\sqrt{5}$，…（2分）
∵直線l不過第二象限，∴a=2，
∴直線l的方程為2x-y-4=0；…（4分）
（2）∵直線l₁過點（3，-1）且與直線l平行，
∴直線l₁的方程為2x-y+b=0，…（6分）
∵直線l₁過點（3，-1），∴b=-7，
則直線l₁的方程為2x-y-7=0，…（7分）
∵直線l₂與l₁關于y=1對稱，∴直線l₂的斜率為-2，且過點（4，1），…（9分）
∴直線l₂的斜率為y-1=-2（x-4），即化簡得2x+y-9=0．…（10分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關系，屬于中檔題．