Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）證明：對任意恒成立；

（3）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn) （其中）使得點(diǎn)處的切線，則稱直線存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)時(shí)，又稱直線存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)、，直線是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）函數(shù)不存在“中值伴侶切線”

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，利用已知中的函數(shù)分段討論得到函數(shù)的解析式，然后分析利用導(dǎo)數(shù)求解最值，并加以證明。

（1）因?yàn)楹瘮?shù)然后得到分段函數(shù)，分別對每一段研究最值得到整個(gè)函數(shù)的最小值

（2）要證明對任意恒成立；，只要構(gòu)造函數(shù)證明整式不等式恒成立即可。

（3）根據(jù)給定的新的定義得到函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想來求解。

解：（1）  …………1分

   ……………………………………2分

       ……………………………4分

（2）

令，………………6分

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810344966718985/SYS201209081035205978976780_DA.files/image014.png">,顯然，所以在上遞增,

顯然有恒成立.（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立），即證．      ………8分

（3）當(dāng)時(shí)，，，假設(shè)函數(shù)存在“中值伴侶切線”. 

設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，

則，.  故直線AB的斜率：

 …………………………………………………………10分

曲線在點(diǎn)處的切線斜率：

=…………………………………………11分

依題意得：

化簡可得： ，即=. …………12分 

設(shè) ()，上式化為,由（2）知時(shí)，恒成立.

所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值伴侶切線”    ………………14分