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13.以橢圓的右焦點F2為圓心作一個圓,使此圓過橢圓的中心,交橢圓于點M、N,若直線MF1(F1為橢圓左焦點)是圓F2的切線,則橢圓的離心率為(  )
A.22B.32C.3-1D.2-3

分析 根據題意思可得:點P是切點,因此PF2=c并且PF1⊥PF2,可得∠PF1F2=30°,可知|PF1|=3c.根據橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a,可得|PF2|=2a-c.求得a,由離心率公式即可求得橢圓的離心率.

解答 解:設F2為橢圓的右焦點
由題意可得:圓與橢圓交于P,并且直線PF1(F1為橢圓的左焦點)是該圓的切線,
∴點P是切點,
∴PF2=c,PF1⊥PF2
又∵F1F2=2c,
∴∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=3c.
根據橢圓的定義可得:|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF2|=2a-c.
∴2a-c=3c,即a=3+12c,
∴e=ca=23+1=3-1,
故選C.

點評 本題考查橢圓的定義,考查直線與橢圓的位置關系,勾股定理及離心率公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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