Question

若AB為拋物線y²=2px （p＞0）的動(dòng)弦，且|AB|=a （a＞2p），則AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最近距離是（　　）

• A．

  a

  2

• B．

  p

  2

• C．

  a+p

  2

• D．

  a-p

  2

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作出草圖，則所求距離為MN=

x1+x2

2

=

(x1+ p 2 )+(x2+ p 2 )

2

-

p

2

，根據(jù)拋物線定義及三角形三邊關(guān)系即可求得其最小值．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
拋物線準(zhǔn)線為x=-

p

2

，
如圖所示：
則所求距離為MN=

x1+x2

2

=

(x1+ p 2 )+(x2+ p 2 )

2

-

p

2

=

|AF|+|BF|

2

-

p

2

≥

|AB|

2

-

p

2

=

a

2

-

p

2

，
所以AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最近距離是

a-p

2

，此時(shí)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．