Question

【題目】設(shè)函數(shù)為偶函數(shù).

（1） 求的值；

（2）若的最小值為，求的最大值及此時(shí)的取值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，其中.已知在處取得最小值并且點(diǎn)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為， 此時(shí)的取值為；（3）

【解析】

（1）根據(jù) 是偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為 對(duì)一切恒成立求解.

（2）由（1）得到 ， 根據(jù)最小值為， 則，得到，然后再求最大值.

（3）由（2）得到，根據(jù)在處取最小值，點(diǎn)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，，由求解.

（1）因?yàn)?/span>， 是偶函數(shù)，

所以 對(duì)一切恒成立，

所以.

（2）由（1）知 ，

因?yàn)槠渥钚≈禐?/span>，

所以 ，

所以，

當(dāng)時(shí)，取得最大值， 此時(shí)；

（3）由（2）知：，

，

，

因?yàn)?/span>在處取最小值，且點(diǎn)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,

所以，

所以，，

所以，則，

即，

又因?yàn)?/span>，

所以，，

當(dāng)時(shí)， ，

，在處取得最大值，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，

， 在取不到最小值，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)， ，

， 在處取得最小值，

，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，

所以的最小值為.