Question

已知向量

a

=(x，4y+4)，向量

b

=(x，y-1)，且

a

⊥

b

，動點(diǎn)M（x，y）的軌跡為E，
（1）求軌跡E的方程；
（2）證明：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,軌跡方程

專題：綜合題,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）已知兩向量的坐標(biāo)和兩向量的內(nèi)積為0，有內(nèi)積的坐標(biāo)表示法即可得動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題意對于要找的直線分斜率存在與不存在加以討論，對于斜率存在設(shè)出直線與動點(diǎn)軌跡E進(jìn)行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及方程的思想求出要求的圓的方程；對于斜率不存在點(diǎn)都具體加以驗(yàn)證即可．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="cakg2cc" class="MathJye">

a

⊥

b

，

a

=(x，4y+4)，

b

=(x，y-1)，
所以

a

•

b

=x²+4（y²-1）=0，所以，軌跡E的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+t，
解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，
即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0
要使切線與軌跡E恒有兩個交點(diǎn)A，B
則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即：4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1
且

x1+x2= 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t2=

t2-4k2

1+4k2

要使

.

OA

⊥

.

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0
即：

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0
所以5t²-4k²-4=0
即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1
即4k²+4＜20k²+5
即16k²＞-1，恒成立．
又因?yàn)橹本�y=kx+t為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線
所以圓半徑為r=

|t|

1+k2

，r2=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，所求的圓為x2+y2=

4

5

當(dāng)切線的斜率不存在時，切線為x=±

2

5

5

，與

x2

4

+y2=1交于點(diǎn)（

2

5

5

，±

2

5

5

)或(-

2

5

5

，±

2

5

5

或(-

2

5

5

，±

2

5

5

)也滿足OA⊥OB
綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=

4

5

使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題第一問重點(diǎn)考查了兩向量的內(nèi)積的坐標(biāo)的表示方法，還考查了直接法求動點(diǎn)的軌跡的方法；第二問重點(diǎn)考查了直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立后根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求和整體代換的思想，還考查了分析問題時的分類討論的問題．