Question

某中學設計一項綜合學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取三道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，已知在6道備選題中，考生甲有4道題能正確完成，兩道題不能正確完成；考生乙每道題正確完成的概率都是

2

3

，且每道題正確完成與否互不影響．
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列；
（2）分別求甲、乙兩考生正確完成題數的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：計算題

分析：（1）設考生甲、乙正確完成題數分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．
再求出ξ，η取每個值時的概率，即得他們的分布列．
（2）根據他們的分布列，代入數學期望的公式，分別求它們的數學期望．

解答： 解析：（1）設考生甲、乙正確完成題數分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．
則 P=（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P=（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P=（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴考生甲正確完成題數的概率分布列為

P（η=0）=C₃⁰(1

2

3

)3=

1

27

，P（η=1）=C₃¹(1

2

3

)2(

2

3

)1=

2

9

，
P（η=2）=C₃²(1

2

3

)1(

2

3

)2=

4

9

，P（η=3）=C₃³(1

2

3

)0(

2

3

)3=

8

27

，
∴考生乙正確完成題數的概率分布列為

（2）Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2； Eη=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．
另解：實際上η服從二項分布B（3，

2

3

），∴Eη=3×

2

3

=2．（12分）

點評：本題考查求離散型隨機變量的分布列及數學期望的方法，關鍵是找出隨機變量的取值范圍，以及取每個值時對應的概率．