Question

如圖，在單位正方形內(nèi)作兩個互相外切的圓，同時每一個圓又與正方形的兩相鄰邊相切，記其中一個圓的半徑為x，兩圓的面積之和為S，將S表示為x的函數(shù)，求函數(shù)S=f（x）的解析式及f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計算題

分析：首先設(shè)另一個圓的半徑，通過分析兩個圓內(nèi)切時半徑最大，從而求出定義域；然后根據(jù)圖象分析面積之和的函數(shù)，并求出最大值和最小值．

解答： 解：設(shè)另一個圓的半徑為y，則

2

x+x+

2

y+y=

2

⇒(

2

+1)(x+y)=

2

⇒x+y=

2

2 +1

=2-

2

，
∴S=f(x)=π(x2+y2)=π[x2+(2-

2

-x)2]=π[2x2-2(2-

2

)x+(6-4

2

)]=π[2(x-

2- 2

2

)2+(3-2

2

)]，
因為當(dāng)一個圓為正方形內(nèi)切圓時半徑最大，而另一圓半徑最小，
所以函數(shù)的定義域為{x|

3

2

-

2

≤x≤

1

2

}
因為

2- 2

2

∈[

3

2

-

2

，

1

2

]，
所以Smin=π(3-2

2

)；
因為f(

3

2

-

2

)=f(

1

2

)=

3

2

(3-2

2

)，
所以Smax=

3π

2

(3-2

2

)，
所以函數(shù)S=f（x）的值域為[π(3-2

2

)，

3π

2

(3-2

2

)]．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過對實際問題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問題．這里需要對兩圓關(guān)系進(jìn)行仔細(xì)分析，防止誤判．同時需要對知識熟練的掌握并應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．