Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求這個函數(shù)的圖象在點x=1處的切線方程；
（2）求這個函數(shù)的極值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出這個函數(shù)的圖象在點x=1處的切線方程．
（2）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，f（1）=0，
f′（x）=lnx+1，
∴k=f′（1）=1，
∴這個函數(shù)的圖象在點x=1處的切線方程：y=x-1．
（2）∵f（x）=xlnx，∴x＞0，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1

e

；由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，
∴函數(shù)f（x）=xlnx的增區(qū)間為（

1

e

，+∞），減區(qū)間為（0，

1

e

），
∴x=

1

e

時，f（x）取極小值f（

1

e

）=-

1

e

，無極大值．

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查切線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．