Question

已知函數(shù)f（x）=x-2sinx+a（x∈[0，

π

2

]），a為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理,正弦函數(shù)的圖象

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=1-2cosx，令f′（x）=0，解得x=

π

3

；分別解出令f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值；
（2）由函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上有且僅有一個零點，因此函數(shù)f（x）取得極小值f(

π

3

)=0，解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=1-2cosx，
令f′（x）=0，解得x=

π

3

；令f′（x）＞0，解得

π

3

＜x≤

π

2

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得0≤x＜

π

3

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

π

3

時，函數(shù)f（x）取得極小值，f(

π

3

)=

π

3

-2×sin

π

3

+a=

π

3

-

3

+a．
（2）∵函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上有且僅有一個零點，
由（1）可得：函數(shù)f（x）取得極小值f(

π

3

)=

π

3

-

3

+a=0，解得a=

3

-

π

3

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．