Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程．
（1）求的解析式，并判斷函數(shù)的圖像是否為中心對稱圖形？若是，請求其對稱中心；否則說明理由。
（2）證明：曲線上任一點(diǎn)的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
(3) 將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位后與拋物線（為非0常數(shù)）的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)？(說明理由)

Answer 1

(1) 的圖像是以點(diǎn)為中心的中心對稱圖形．
(2) 三角形的面積為定值
(3) 由三次函數(shù)的圖象是連續(xù)的可知F(x)至少有一零點(diǎn)                           
當(dāng)時(shí)在R上為減函數(shù)（減函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)），
所以此時(shí)F(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

解析試題分析：解：（1），                                      
曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=3，
于是                解得或        
因，故．                                       
，滿足,所以是奇函數(shù)     
所以，其圖像是以原點(diǎn)(0,0)為中心的中心對稱圖形．                       
而函數(shù)的圖像按向量平移，即得到函數(shù)的圖像，
故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)為中心的中心對稱圖形．                        
（2）證明：在曲線上任取一點(diǎn)．  由知，     
過此點(diǎn)的切線方程為．               
令得，切線與直線交點(diǎn)為．                 
令得，切線與直線交點(diǎn)為．
直線與直線的交點(diǎn)為．                                  
從而所圍三角形的面積為．  
所以，所圍三角形的面積為定值．                                        
（3）將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位后得到的函數(shù)為,
它與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程=的解的個(gè)數(shù)          
法一：
即 (解的個(gè)數(shù),(易知0不是其解，不產(chǎn)生增根)  
即 的零點(diǎn)（與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）的個(gè)數(shù)    

由三次函數(shù)的圖象是連續(xù)的可知F(x)至少有一零點(diǎn)                             11分

當(dāng)時(shí)在R上為減函數(shù)（減函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)），
所以此時(shí)F(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)零點(diǎn)
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是能結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線方程，進(jìn)而分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要對于a分類討論得到，屬于中檔題。