Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a（a∈R），
（1）當a=

1

3

時，求不等式f（x）＜

5

3

x²-

11

3

的解集；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)僅有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,二次函數(shù)的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）將a=

1

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代入化簡可得x²+x-6＞0，從而求解集；
（2）分△=4a²-4a=0與△=4a²-4a＞0討論，從而確定當函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)僅有一個零點時a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=

1

3

時，f（x）＜

5

3

x²-

11

3

可化為
x²+x-6＞0，
解得，x＜-3或x＞2；
故不等式f（x）＜

5

3

x²-

11

3

的解集為{x|x＜-3或x＞2}；
（2）若△=4a²-4a=0，即a=0或a=1時，
經(jīng)驗證，a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)僅有一個零點0；
若△=4a²-4a＞0，即a＞1或a＜0時，

a＞1 f(-1)•f(1)＜0

或

a＜0 f(-1)≤0 f(1)＞0

；
解得，a＞1或a≤-

1

3

；
綜上所述，
a的取值范圍為{a|a=0或a＞1或a≤-

1

3

}．

點評：本題考查了二次不等式的化簡與解法，同時考查了函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷，屬于基礎題．