Question

已知一次函數(shù)y=x+k（k∈Z）的圖象與二次函數(shù)y=x²的圖象交于A，B兩點，O為坐標原點，求：
（1）

OA

，

OB

的數(shù)量積；
（2）當k為何值時

OA

⊥

OB

．

Answer 1

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-k+k²；
（2）當

OA

•

OB

=-k+k²=0時

OA

⊥

OB

．解方程可得k值．

解答： 解：（1）由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=x+k y=x2

消y并整理得x²-x-k=0，
由韋達定理可得x₁+x₂=1，x₁x₂=-k，
∴y₁y₂=（x₁+k）（x₂+k）=x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=k²，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-k+k²；
（2）當

OA

•

OB

=-k+k²=0，即k=0或1時，

OA

⊥

OB

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積和垂直關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．