已知函數(shù)在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直.
(Ⅰ)求a的值和切線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)上任一點處的切線的傾斜角為θ,求θ的取值范圍.
【答案】分析:(1)由已知可得函數(shù)的導函數(shù),即切線斜率的函數(shù),因為在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直,所以導函數(shù)只有一個實根,進而易得a的值與切線1的方程.
(2)因為在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直,顯然切線斜率≥-1從而可以解出θ的范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵,
∴f/(x)=x2-4x+a.(2分)
∵在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直,
∴x2-4x+a=-1有且只有一個實數(shù)根.
∴△=16-4(a+1)=0,
∴a=3.(4分)
∴x=2,
∴切線l:,即3x+3y-8=0.(7分)
(Ⅱ)∵f/(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1.(9分)
∴tanθ≥-1,(10分)
∵θ∈[0,π),
(13分)
點評:本題考查了直線的點斜式方程及直線的傾斜角,是一道綜合題,應(yīng)注意運用導函數(shù)求解.
練習冊系列答案
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(Ⅰ)求a的值和切線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)上任一點處的切線的傾斜角為θ,求θ的取值范圍.

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