【題目】如果直線與橢圓只有一個交點，稱該直線為橢圓的“切線”.已知橢圓，點是橢圓上的任意一點，直線過點且是橢圓的“切線”.

（1）證明：過橢圓上的點的“切線”方程是；

（2）設(shè)，是橢圓長軸上的兩個端點，點不在坐標(biāo)軸上，直線，分別交軸于點，，過的橢圓的“切線”交軸于點，證明：點是線段的中點；

（3）點不在軸上，記橢圓的兩個焦點分別為和，判斷過的橢圓的“切線”與直線，所成夾角是否相等？并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線和橢圓方程，由，得直線是橢圓的切線；（2），得. ，得，過點的切線為，得，證得點是線段的中點；（3）的方向向量，，，記與的夾角，與的夾角，，，所以，有，從而有與直線，所成的夾角相等.

試題解析：

（1）由點在橢圓上，有， 在直線上

當(dāng)時，由，得，直線方程為，代入橢圓方程得，得一個交點，直線是橢圓切線.

當(dāng)時，有，直線為代入橢圓方程得，有，直線是橢圓切線.

另解：不討論將橢圓方程化為，將直線方程代入消，得到的一元二次方程，然后證明

（2）點不在坐標(biāo)軸上，，得. ，得

過點的切線為，得.由，得，從而有，點是線段的中點.

（3）,,的方向向量，.，，，，記與的夾角，與的夾角.

，

，

所以，有，從而有與直線，所成的夾角相等.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【選修4－5：不等式選講】

已知函數(shù)f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－3｜．

（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜a有解，求實數(shù)a的取值范圍：

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜a的解集為（b， ），求a＋b的值．

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【題目】已知，若存在三個不同實數(shù)使得，則的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.（0，1）

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【題目】某校初一年級全年級共有名學(xué)生，為了拓展學(xué)生的知識面，在放寒假時要求學(xué)生在假期期間進(jìn)行廣泛的閱讀，開學(xué)后老師對全年級學(xué)生的閱讀量進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（部分已被損毀），統(tǒng)計人員記得根據(jù)頻率直方圖計算出學(xué)生的平均閱讀量為萬字.根據(jù)閱讀量分組按分層抽樣的方法從全年級人中抽出人來作進(jìn)一步調(diào)查.

（1）從抽出的人中選出人來擔(dān)任正副組長，求這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于萬字的概率；

（2）為進(jìn)一步了解廣泛閱讀對今后學(xué)習(xí)的影響，現(xiàn)從抽出的人中挑選出閱讀量低于萬字和高于萬字的同學(xué)，再從中隨機選出人來長期跟蹤調(diào)查，求這人中來自閱讀量為萬到萬字的人數(shù)的概率分布列和期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)（其中）.

（1）當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.

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【題目】（題文）隨著手機的發(fā)展，“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”的贊成人數(shù)如下表：

年齡（單位：歲）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

[65,75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（1）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成的人數(shù)

不贊成的人數(shù)

合計

（2）若從年齡在[25,35）和[55,65）的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查，并給予其中3人“紅包”獎勵，求3人中至少有1人年齡在[55,65）的概率.

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：

0.100

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【題目】美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬元，公司獲得毛收入千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖像如圖所示.

（1）試分別求出生產(chǎn)，兩種芯片的毛收入（千萬元）與投入資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時生產(chǎn)，兩種芯片，求可以獲得的最大利潤是多少.

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點的直線與橢圓有兩個不同的交點，，且點在點，之間，試求和面積之比的取值范圍（其中為坐標(biāo)原點）.

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