如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),直線 分別為的中點(diǎn)。

(1)記平面與平面的交線為,試判斷與平面的位置關(guān)系,并加以說(shuō)明;

(2)設(shè)(1)中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)滿足,記直線

平面所成的角為異面直線所成的銳角為,二面角的大小為

①求證:

②當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí),,求直線與平面所成的角的正弦值。

 

(1)直線∥平面(2)①詳見(jiàn)解析②

【解析】

試題分析:(1),根據(jù)線線平行,線面平行,線與交線平行,從而得出線面平行,(2)①連接,由( 1)可知交線即為直線,且. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.013.png">是的直徑,所以,于是.已知平面,而平面,所以.而,所以平面,在不同的直角三角形內(nèi)構(gòu)造,做出.③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.027.png">∥,所以直線與平面所成的角就為CF與平面所成的角過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF,垂足為G,就是直線與平面所成的角.

試題解析:

解(1)直線∥平面,證明如下:連接,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.037.png">,分別是,的中點(diǎn),所以. 又平面,且平面,所以∥平面.而平面,且平面平面,所以. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.055.png">平面,平面,所以直線∥平面

(2)①證明:如圖,

連接,由(1)可知交線即為直線,且. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.013.png">是的直徑,所以,于是.

已知平面,而平面,所以.而,所以平面.連接,,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.060.png">平面,所以.故就是二面角的平面角,即. 由,作,且. 連接,,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.070.png">是的中點(diǎn),,所以,

從而四邊形是平行四邊形,.連接,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.078.png">平面,所以在平面內(nèi)的射影,故就是直線與平面所成的角,即. 又平面,有,知為銳角,故為異面直線所成的角,即, 8分

于是在,中,分別可得,,

從而,即. 9分

②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.027.png">∥,所以直線與平面所成的角就為CF與平面所成的角

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BF,垂足為G,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723461202482890/SYS201411172346174937159447_DA/SYS201411172346174937159447_DA.087.png">平面所以CG,又所以CG⊥平面

就是直線與平面所成的角, ,故直線與平面所成的角的正弦值為 13分

考點(diǎn):1.線面平行的判定;2線面平行的性質(zhì);3.線面垂直的判定;4.二面角;5.線面角.

 

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A. B. C. D.4

 

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A. B. C. D.

 

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