Question

已知函數f（x）=sin（x+

π

3

）-

3

cos²

x

2

+

3

2

．
（1）若f（a+

π

4

）=-

3

4

，

3π

4

≤a≤

5π

4

，求a的值；
（2）將含f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若方程g（x）=m在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上只有一個實數根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先根據兩角和與差的公式和二倍角公式進行化簡，確定函數f（x）的解析式，由已知化簡可得sinα+cosα=-

6

2

，分析角的范圍即可得解．
（2）由題意可得得到y(tǒng)=g（x）的解析式，
關于x的方程

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一個實數解，即

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一個實數解．由-

3

4

≤

1

2

sin2x≤

1

2

，結合圖象可得實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x+

π

3

）-

3

cos²

x

2

+

3

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx-

3

2

-

3

2

cosx+

3

2

=

1

2

sinx
∵f（a+

π

4

）=

1

2

sin（a+

π

4

）=-

3

4

，可解得：sinα+cosα=-

6

2

，兩邊平方即有sin2α=

1

2

∵

3π

4

≤a≤

5π

4

，∴

3π

2

≤2α≤

5π

2

∴2α=2kπ+

π

6

，k∈Z
∴可解得，當k=1時，α=

13π

12

．
（2）將含f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=g（x）=

1

2

sin2x的圖象，
關于x的方程

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一個實數解，即

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一個實數解．
再由 x∈[-

π

6

，

π

3

]可得：2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

4

≤

1

2

sin2x≤

1

2

，
集合圖象可得 m=1，或-

3

4

≤m＜

1

4

．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應用和三角函數中的恒等變換應用．考查三角函數基礎知識的簡單應用和靈活能力，屬于中檔題．