Question

橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），P是C上的任意一點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
（1）|PF₁|-|PF₂|有最大值5；
（2）|PF₁||PF₂|有最大值9；
（3）|PF1|2+|PF2|2有最大值18；
（4）|PF₁|+|PA|有最小值6-

2

，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（1）（4）
• D、（2）（4）

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：①利用三角形兩邊之差小于第三邊可證明當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，|PF₁|-|PF₂|有最大值2c，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算焦距即可；
②利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
③利用焦半徑公式設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則|PF₁|²+|PF₂|²可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的一元函數(shù)，由x₀的范圍即可求得|PF₁|²+|PF₂|²的最大值；
④由橢圓的定義結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可判斷

解答： 解：（1）當(dāng)P點(diǎn)不在x軸上時(shí)，P，F(xiàn)1，F(xiàn)2，三點(diǎn)構(gòu)成三角形，此時(shí)|PF₁|-|PF₂|＜|F₁F₂|，
∵|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|＜4，
當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|≤4，即①|(zhì)PF₁|-|PF₂|有最大值4，錯(cuò)誤．
（2）∵P點(diǎn)在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=6，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤9，∴|PF₁|•|PF₂|有最大值9，正確．
（3）根據(jù)橢圓方程，可得橢圓的離心率為

2

3

設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=2a²+2e²x₀²=18+

8

9

x₀²
∵P點(diǎn)在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上，∴x₀²≤9，∴18+

8

9

x₀²≤26，∴PF₁|²+|PF₂|²有最大值26，
∴錯(cuò)誤，
（4）由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|+|PA|+|F₂A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₁|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₂A|=6-

2

，所以有最小值6-

2

，正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，橢圓定義的應(yīng)用，橢圓的幾何性質(zhì)，利用均值定理和函數(shù)求最值的方法．