Question

【題目】某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目,若一名學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.

某學(xué)校為了了解高一年級420名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:

性別	選考方案確定情況	物理	化學(xué)	生物	歷史	地理	政治
男生	選考方案確定的有8人	8	8	4	2	1	1
	選考方案待確定的有6人	4	3	0	1	0	0
女生	選考方案確定的有10人	8	9	6	3	3	1
	選考方案待確定的有6人	5	4	1	0	0	1

（Ⅰ）估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？

（Ⅱ）假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的8位男生隨機(jī)選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機(jī)選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率;

（Ⅲ）從選考方案確定的8名男生隨機(jī)選出2名,設(shè)隨機(jī)變量兩名男生選考方案相同時，兩名男生選考方案不同時，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)該學(xué)校選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生為則（人）；（Ⅱ）根據(jù)古典概型概率公式可得該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率為；（Ⅲ）由題意知的所有可能取值為，根據(jù)古典概型概率公式計算出兩隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，可得到分布列，從而根據(jù)期望公式可得的值.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)該學(xué)校選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生為

（人），

所以該學(xué)校選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生為人.

（Ⅱ）該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率為

.

（Ⅲ）由題意知的所有可能取值為

所以的分布列為

期望為.