【題目】過(guò)點(diǎn)的橢圓的離心率為,橢圓與軸交于兩點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn),并與軸交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí),求證:為定值.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)先求出橢圓方程,當(dāng)直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí),寫出直線的方程,并和橢圓聯(lián)立方程,求得點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段的長(zhǎng);(2)設(shè)出直線的方程,并和橢圓聯(lián)立方程,求得點(diǎn)的坐標(biāo),并求出點(diǎn)坐標(biāo),寫出直線與直線的方程,并解此方程組,求得點(diǎn)的坐標(biāo),代入即可證明結(jié)論.
(1)由已知得,得,
橢圓的方程為,
橢圓的右焦點(diǎn)為,
此時(shí)直線的方程為,
由,解得,
;
(2)當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符,所以直線與軸不垂直,即直線的斜率存在,
設(shè)直線的方程為
代入橢圓的方程,化簡(jiǎn)得,解得,
代入直線的方程,得,
所以,的坐標(biāo)為,
又直線的方程為,直線方程為,
聯(lián)立解得,即,
而的坐標(biāo)為,
,
即為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,且橢圓上存在一點(diǎn),滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓的半徑的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù),其中常數(shù).
(1)求的最小值;
(2)若,討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓為左右焦點(diǎn),為短軸端點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為,且,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),且與直線相交于點(diǎn).試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,且滿足, (Ⅰ) 求的取值范圍;(Ⅱ)設(shè),求在上的最大值和最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用0與1兩個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入如圖所示的5個(gè)格子里,每個(gè)格子填一個(gè)數(shù)字,并且從左到右數(shù),不管數(shù)到哪個(gè)格子,總是1的個(gè)數(shù)不少于0的個(gè)數(shù),則這樣填法的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)為正四棱錐的底面中心,四邊形為矩形,且,.
(1)求正四棱錐的體積;
(2)設(shè)為側(cè)棱上的點(diǎn),且,求直線和平面所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)務(wù)極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線,
(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線和的交點(diǎn)為,,求以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體中,四邊形為菱形,且,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.
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