Question

已知一個(gè)空間幾何體的直觀圖和三視圖（尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，求證：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以B為原點(diǎn)，

BA

，

BP

，

BC

分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABCD的一個(gè)法向量，由此能證明EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量和平面PCD的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出線段PD上存在一點(diǎn)N，當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

．

解答： 解：（Ⅰ）證明：由三視圖知，BA，BP，BC兩兩垂直，故以B為原點(diǎn)，

BA

，

BP

，

BC

分別為x軸，y軸，z軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
則P（0，2，0），D（2，0，1），M（1，1，

1

2

），E（2，1，0），C（0，0，1），
所以

EM

=（-1，0，

1

2

），
平面ABCD的一個(gè)法向量等于

n

=（0，1，0），…（3分）
所以

EM

•

n

=(-1，0，

1

2

)•(0，1，0)=0，所以

EM

⊥

n

，（4分）
又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．（5分）
（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為

2

5

．（6分）
理由如下：
因?yàn)?span id="qfmtsti" class="MathJye">

PD

=(2，-2，1)，

CD

=（2，0，0），設(shè)平面PCD的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • PD =2x-2y+z=0 n • CD =2x=0

，（7分）
取y=1，得平面PCD的一個(gè)法向量

n

=（0，1，2）．（8分）
假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于

2

5

．
設(shè)

PN

=λ

PD

（0≤λ≤1），
則

PN

=λ(2，-2，1)=(2λ，-2λ，λ)，

BN

=

BP

+

PN

=（2λ，2-2λ，λ）．（9分）
所以sinα=|cos＜

BN

，

n

＞|=

| BN ， n |

| BN |•| n |

（10分）
=

2

5 • (2λ)2+(2-2λ)2+λ2

=

2

5 • 9λ2-8λ+4

=

2

5

．（12分）
所以9λ²-8λ-1=0，解得λ=1，或λ=-

1

9

．（舍去）．
因此，線段PD上存在一點(diǎn)N，當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，
直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

． （13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查直線與平面的平行、線面所成角、探索性問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．